Algebraiska uttryck

Algebraiska uttryck är kombinationen av bokstäver, tecken och siffror i matematiska operationer . Vanligtvis representerar bokstäver okända mängder och kallas variabler eller okända. Algebraiska uttryck tillåter oss att översätta matematiska språkuttryck från det vanliga språket. Algebraiska uttryck härrör från skyldigheten att översätta okända värden till siffror, som, som vi påpekade tidigare, representeras av bokstäver. Den matematikgren som ansvarar för studien av dessa uttryck där siffror och bokstäver förekommer, liksom tecken på matematiska operationer, är Algebra.

Algebraiska uttryck

Vad är algebraiska uttryck

Som nämnts tidigare är dessa operationer inget annat än kombinationen av bokstäver, siffror och tecken som sedan används i olika matematiska operationer. I algebraiska uttryck har bokstäver beteende hos siffror och när de tar den kursen används mellan en och två bokstäver. Oavsett vilket uttryck du har, är det första du behöver göra att förenkla. Detta uppnås med hjälp av egenskaperna för operationen, som motsvarar de numeriska egenskaperna. För att hitta det numeriska värdet för en algebraisk operation måste bokstaven ersättas med ett visst nummer.

Många övningar kan göras på dessa uttryck och kommer att göras i detta avsnitt för att förbättra förståelsen för ämnet i fråga. Exempel på algebraiska uttryck:

  • (X + 5 / X + 2) + (4X + 5 / X + 2)

    X + 5 + 4X + 5 / X + 2

    5X + 10 / X + 2

    5 (X + 2) / X + 2

    5

  • (3 / X + 1) - (1 / X + 2)

    3 (X + 2) - X - 1 / (X + 1) * (X + 2)

    2X - 5 / X ^ 2 + 3X + 2

Algebraiskt språk

Algebra är den del av matematiken som studerar förhållandet mellan siffror, bokstäver och tecken. Därför är algebraiskt språk ett som använder symboler och bokstäver för att representera siffror. Detta språk uppstod i den muslimska civilisationen under AL-Khwarizimi-perioden under medeltiden. Dess huvudfunktion är att skapa och strukturera ett språk som hjälper till att generalisera de olika operationerna som sker inom aritmetik där endast siffror och deras elementära aritmetiska operationer förekommer (+ -x%).

Denna typ av språk introducerades först av den franska matematikern François Vieth, som anses vara algebraens far uttryckt i ord. Algebraiskt språk syftar till att skapa och utforma ett språk som hjälper till att generalisera de olika operationerna som sker inom aritmetik, där endast siffror och deras grundläggande matematiska operationer används: tillägg (+), subtraktion (-), multiplikation (x) och uppdelning (/).

Det algebraiska språket kännetecknas av dess precision, eftersom det är mycket mer konkret än det numeriska språket. Genom det kan uttalanden uttryckas kort. Exempel: uppsättningen av multiplar om 3 är (3, 6, 9, 12 ...) uttrycks 3n där n = (1, 2, 3, 4 ...).

Låter dig uttrycka okända nummer och utföra matematiska operationer på dem . Exempel: summan av två siffror uttrycks så här: a + b. Stöder uttrycket av relationer och allmänna numeriska egenskaper. Exempel: den kommutativa egenskapen uttrycks så här: axb = bxa . När man skriver med detta språk kan okända mängder manipuleras med enkla symboler för att skriva, vilket möjliggör förenkling av teorem, formulering av ekvationer och ojämlikheter och studier av hur man löser dem.

«> Laddar ...

Å andra sidan är en algebraisk typ som representerar en uppsättning siffror och bokstäver som kombineras med tecknen på aritmetiska operationer och består av koefficienter, exponenter och bas. Exempel: 7 × 4. Där 7 är koefficienten, är x basen och 4 är den tidigare numeriska högtalaren . Koefficienten representerar den numeriska mängden eller bokstaven som är placerad till vänster om basen, vilket indikerar antalet gånger basen måste läggas till eller subtraheras, beroende på vilken skylt den har. Exempel: 7 × 4 = x4 + x4 + x4 + x4 + x4 + x4 + x4

Den numeriska exponenten är den mängd som finns längst upp till höger på basen, vilket anger antalet gånger basen tas som en produkt. Exempel: 2 × 3 = 2 (x) (x) (x) . Det numeriska värdet för en algebraisk operation är det talet som har sitt ursprung, efter att ha ersatt bokstäverna för siffror, för att fortsätta de angivna operationerna.

Algebraiska tecken och symboler

I algebra används både symboler och tecken i uppsättningsteori och dessa utgör eller representerar ekvationer, serier, matriser etc. Bokstäver uttrycks eller benämns som variabler, eftersom samma bokstav används i andra problem och dess värde hittar olika variabler. Några av klassificeringen algebraiska uttryck inkluderar:

uttryck användning
C eller K.De används i konstanta termer.
A, B, C.De används för att ge uttryck för de mest kända mängderna i algebra.
X, Y, Z.De används för att uttrycka de okända i matematiska operationer.
N.Det ger uttryck för valfritt nummer.
>Större än.
<Mindre än.
Större än eller lika.
Mindre än eller lika.
=Lika - jämlikhet.
Inte lika med
Ja, bara ja.

Algebraiska fraktioner

En algebraisk fraktion är den som representeras av kvoten på två polynom som visar ett beteende som liknar numeriska fraktioner. I matematik kan vi arbeta med sådana bråk genom att göra multiplikation och delning. Därför måste vi uttrycka att den algebraiska fraktionen representeras av kvoten på två algebraiska uttryck där telleren är utdelningen och nämnaren är delaren.

Bland egenskaperna hos algebraiska fraktioner kan vi markera att om nämnaren delas eller multipliceras med samma mängd än noll, kommer fraktionen inte att ändras.

Förenklingen av en algebraisk fraktion består av att omvandla den till en fraktion som inte längre kan reduceras, vilket är nödvändigt för att faktorera de polynomier som utgör täljaren och nämnaren.

Vi kan klassificera dessa fraktioner i följande typer: ekvivalent, enkel, korrekt, felaktig, sammansatt av teller eller nollnämnare. Då får vi se var och en av dem.

ekvivalenter

När tvärprodukten är densamma, det vill säga när fraktionerna av fraktionerna är desamma. Till exempel, av dessa två algebraiska fraktioner: 2/5 och 4/10 kommer att vara ekvivalenta om 2 * 10 = 5 * 4

enkel

Det är de där telleren och nämnaren representerar heltaliga rationella uttryck.

egen

Det är enkla fraktioner där telleren är mindre än nämnaren.

olämpliga

Det är enkla fraktioner där telleren är lika med eller större än nämnaren.

sammansatt

De bildas av en eller flera fraktioner som kan lokaliseras i telleren, nämnaren eller båda.

Noll teller eller nämnare

Det inträffar när värdet är 0. I fallet med en fraktion 0/0 kommer det att vara obestämd.

När man använder algebraiska fraktioner för att utföra matematiska operationer, måste vi ta hänsyn till vissa egenskaper hos operationer med numeriska fraktioner, till exempel för att starta, den minst vanliga multipeln måste hittas när nämnarna har olika siffror. I både delning och multiplikation utförs och utförs operationer precis som med numeriska bråk, eftersom dessa bör förenklas i förväg när det är möjligt.

polynom

Algebraiska uttryck

När vi talar om polynom hänvisar vi till en algebraisk operation av tillsats, subtraktion och ordnad multiplikation gjord av variabler, konstanter och exponenter . I algebra kan ett polynom ha mer än en variabel (x, y, z), konstanter (heltal eller bråk) och exponenter (som bara kan vara positiva heltal). Polynom består av begränsade termer. Varje term är ett uttryck som innehåller ett eller flera av de tre elementen som de skapas med: variabler, konstanter eller exponenter. Till exempel: 9, 9x, 9xy är alla termer. Ett annat sätt att identifiera termer är att de är separerade genom tillägg och subtraktion.

För att lösa, förenkla, lägga till eller subtrahera polynom måste du matcha termerna med samma variabler som till exempel termerna med x, termerna med “y” och termerna som inte har variabler. Det är också viktigt att titta på tecknet före termen som avgör om du vill lägga till, subtrahera eller multiplicera. Term med samma variabler grupperas, läggs till eller subtraheras.

Typer av polynomier

Antalet termer som ett polynom har kommer att indikera vilken typ av polynom det är, till exempel, om det finns ett enda term polynom, står du inför en monomial . Ett tydligt exempel på detta är en av träningspolynomema (8xy) .

Det finns också två-term polynomet, som kallas binomialet och identifieras med följande exempel: 8xy - 2y.

Slutligen är polynomet med tre termer, som är kända som trinomialer och identifieras av ett av träningspolynomema med 8xy - 2y + 4 . Trinomialer är en typ av algebraiskt uttryck som bildas av summan eller skillnaden mellan tre termer eller monomialer (liknande monomialer)

Det är också viktigt att prata om graden av polynom, för om det är en enda variabel är det den största exponenten. Graden av ett polynom med mer än en variabel bestäms av termen med den högsta exponenten. Det är också viktigt att prata om Taylor-polynomet, ett teorem som publicerades på 1700-talet av Brook Taylor, en infödd matematiker från Storbritannien, men det upptäcktes inte förrän i slutet av förra seklet av James Gregory, en matematiker och astronom från Skottland.

Dess användning i studien av en funktion, polynomiska approximationer kan hittas i en miljö där de är differentierade, dessutom används felberäkningar.

Tillsats och subtraktion av polynomier

Tillägg av polynomer innebär att man kombinerar termer. Liknande termer avser monomialer som har samma variabel, eller variabler som höjs till samma effekt.

Det finns olika sätt att beräkna med polynomer, till exempel kan summan av polynomer göras på två olika sätt: horisontellt och vertikalt .

  • Summan av polynom i horisontell, används för att göra operationer horisontellt, värt redundansen, men först skrivs ett polynom och sedan följs det på samma rad. Därefter skrivs det andra polynomet för att läggas till eller subtraheras och slutligen grupperas de liknande termerna.
  • Den vertikala polynomet uppnås å andra sidan genom att skriva det första polynomet på ett ordnat sätt. Om det är ofullständigt är det viktigt att lämna luckorna i de saknade villkoren fria. Därefter skrivs följande polynom precis under det föregående, på detta sätt kommer termen som liknar den ovan att vara nedan. Slutligen läggs varje kolumn till.

Det är viktigt att lägga till att för att lägga till två polynomer måste koefficienterna för termerna i samma grad läggas till. Resultatet av att lägga till två termer av samma grad är en annan term i samma grad.

Om någon term i någon av graderna saknas kan den kompletteras med 0. Och de ordnas vanligtvis från högsta till lägsta grad.

Som nämnts ovan behöver du bara lägga till villkoren för samma grad för att göra summan av två polynomier. Egenskaperna för den operationen består av:

  • Associativa egenskaper, i vilka summan av två polynomer löses genom att lägga till koefficienterna som följer med x: erna som ökar till samma effekt.
  • Kommutativ egendom, som ändrar summan och resultatet kan inte dras av. Neutrala element, som har alla deras koefficienter lika med 0. När ett polynom läggs till det neutrala elementet är resultatet lika med det första.
  • Slutligen den motsatta egenskapen. bildad av polynomet som har alla de omvända koefficienterna till koefficienterna för det tillsatta polynomet. sålunda, vid utförande av tilläggsoperationen, är resultatet nollpolynomet.

När det gäller subtraktion av polynomier, (operationer med polynomier) är det absolut nödvändigt att gruppera monomialer enligt de egenskaper de har och att börja med förenklingen av de som var liknande. Operationen utförs genom att lägga till motsatsen till subtraktionen i minuendern.

Ett annat effektivt sätt att fortsätta med att subtrahera polynom är att skriva det motsatta av varje polynom under det andra. Således förblir liknande monomialer i kolumner och vi fortsätter att lägga till dem. Oavsett vilken teknik som utförs, till slut kommer resultatet alltid att vara detsamma, om det görs korrekt.

Multiplikation av polynomier

Multiplikation av monomialer eller övningar mellan polynomer och monomialer, är en operation som utförs för att hitta den resulterande produkten, mellan ett monomialt (algebraiskt uttryck baserat på multiplikationen av ett tal och en bokstav som höjs till en heltal och positiv exponent) och en annan uttryck, om detta är en oberoende term, en annan monomial eller till och med en polynom (begränsad summa monomialer och oberoende termer). Men som nästan alla matematiska operationer, har polynomförökning också en serie steg som måste följas vid lösning av den föreslagna operationen, som kan sammanfattas i följande procedurer:

  • Det första steget att följa när man multiplicerar ett monomial med ett annat uttryck är att multiplicera tecknen för varje term.
  • Sedan multipliceras värdena på koefficienterna och värdet som finns i monomalerna eller bokstäverna som är mellan termerna tillskrivs värdet som finns i denna multiplikation.
  • De listas i alfabetisk ordning.
  • Slutligen läggs de exponenter som finns i bokstäverna i samma bas. Resultatet noteras med en exponent för motsvarande resultat.

Uppdelning av polynomier

Algebraiska uttryck

Även känd som Ruffini-metoden . Det tillåter oss att dela upp ett polynom med en binomial och ger oss också möjlighet att lokalisera rötter till ett polynom för att faktorera det i binomialer. Med andra ord gör denna teknik det möjligt att dela upp eller sönderdela ett algebraiskt polynom av grad n, i ett algebraiskt binomial och sedan i ett annat algebraiskt polynom av grad n-1. Och för att detta ska vara möjligt, är det nödvändigt att känna till eller känna åtminstone en av rötter till det unika polynomet för att separationen ska vara exakt.

Det är en effektiv teknik att dela upp ett polynom med en binomial med formen x - r . Ruffinis regel är ett speciellt fall av syntetisk uppdelning när delaren är en linjär faktor.

Ruffinis metod beskrevs av den italienska matematikern, professorn och läkaren Paolo Ruffini 1804, som förutom att uppfinna den berömda metoden som kallas Ruffinis regel, vilket hjälper till att hitta koefficienterna till resultatet av fragmenteringen av ett polynom av binomial; Han upptäckte och formulerade också denna teknik på ungefärlig beräkning av ekvationernas rötter.

Som alltid, när det gäller en algebraisk operation, innefattar Ruffinis regel en serie steg som måste följas för att uppnå önskat resultat, i detta fall: hitta kvoten och resten som är inneboende i uppdelningen av någon typ av polynom och en binomial av form x + r.

Först, när operationen påbörjas, måste uttrycka granskas för att verifiera eller bestämma om de verkligen behandlas som polynomer och binomialer som svarar på den form som förväntas av Ruffini-regelmetoden.

När dessa steg har verifierats fortsätter vi att beställa polynomet (i fallande ordning). Efter detta steg beaktas bara koefficienterna för polynomtermerna (upp till det oberoende) och placerar dem i rad från vänster till höger. Vissa utrymmen finns kvar för de nödvändiga termerna (endast om det är ofullständigt polynom). Kökskylten placeras till vänster om raden, som består av koefficienter för utdelningspolynomet.

På vänster sida av byssan fortsätter vi att placera den oberoende termen för binomialen, som nu är en delare och dess tecken är omvänd. Det oberoende multipliceras med den första koefficienten för polynomet och registrerar sig därmed i en andra rad under den första. Sedan subtraheras den andra koefficienten och produkten från den monomala oberoende termen av den första koefficienten.

Den oberoende termen för binomialet multipliceras med resultatet av den föregående subtraktionen . Men också placeras den i den andra raden, vilket motsvarar den fjärde koefficienten. Åtgärden upprepas tills alla villkor har uppnåtts. Den tredje raden som har erhållits baserat på dessa multiplikationer tas som en kvot, med undantag för den sista termen, som kommer att betraktas som resten av divisionen. Resultatet uttrycks, åtföljer varje koefficient för variabeln och motsvarande grad, och börjar uttrycka dem med en mindre grad än de ursprungligen hade.

1. Resten av resten

Det är en praktisk metod som används för att dela upp ett polynomialt P (x) av en annan vars form är xa ; där endast värdet på resten erhålls. Följande steg följs för att tillämpa denna regel. Skriv den polynomiska utdelningen utan att fylla i eller beställa, ersätt sedan variabeln x i utdelningen med motsatt värde på den oberoende termen för divisorn. Och slutligen löses verksamheten tillsammans.

Resten teorem är en metod som vi kan få återstoden av en algebraisk division men där ingen delning är nödvändig .

Detta tillåter oss att ta reda på resten av delningen av ett polynom p (x) till exempel av en annan av formen xa. Av detta teorem följer att en polynom p (x) är delbar med xa endast om a är en rot till polynomet, bara om och bara om p (a) = 0. Om C (x) är kvoten och R (x) är resten av delningen av vilket polynom som helst p (x) med en binomial som skulle vara (xa) det numeriska värdet på p (x), för x = a, är lika med resten av dess delning med xa. Då säger vi att: nP (a) = C (a) • (a - a) + R (a) = R (a)

Generellt sett är det bekvämare att tillämpa Ruffinis regel än att ersätta x för att få återstoden av en division av Xa. Därför är restsatsen den mest lämpliga metoden för att lösa problem.

Rötter av polynomier

Rötterna till ett polynom är vissa nummer som gör ett polynom värt noll. Vi kan också säga att de fulla rötterna till ett heltalskoefficient-polynom kommer att vara delare av den oberoende termen. När vi löser ett polynom som är lika med noll, får vi roten till polynomet som lösningar.

Som egenskaper hos rötterna och faktorerna för polynomierna kan vi säga att nollor eller rötter till ett polynom är av delarna av det oberoende uttrycket som tillhör polynomet.

Sedan, för varje rot, till exempel av typen x = a motsvarar en binomial av typen (xa) . Det är möjligt att uttrycka ett polynom i faktorer om vi uttrycker det som en produkt av alla binomialer av den typ (xa) som motsvarar rötter, x = a, resultatet. Det måste beaktas att summan av exponenterna för binomialerna är lika med graden av polynomet, det bör också beaktas att varje polynom som inte har en oberoende term kommer att erkänna som rot x = 0, annars kommer det att medge som en faktor x .

Vi kommer att kalla en polynomisk "prime" eller "irreducible" när det inte finns någon möjlighet att utreda det.

För att fördjupa ämnet måste vi vara tydliga om algebraens grundläggande teorem, som säger att det är tillräckligt att ett polynom med en icke-konstant variabel och komplexa koefficienter har lika många rötter som dess grad, eftersom rötter har sina mångfald. Detta bekräftar att all algebraisk ekvation av grad n har n komplexa lösningar . Ett polynom av grad n har högst n verkliga rötter.

De komplexa rötterna till ett polynom med verkliga koefficienter presenteras kontinuerligt i par, ett polynom med en udda grad som har en minimalt verklig rot. Vi måste också komma ihåg att ett polynom kanske inte har riktiga rötter. Ett polynom som har verkliga och distinkta rötter är ett av de enklaste fallen vi kan hitta.

Om de polynomiska koefficienterna är komplexa kommer de komplexa rötterna inte nödvändigtvis att vara relaterade. Polynomier kan ha komplexa rötter och deras respektive konjugat. Till exempel har ett polynom: en komplex rot och motsvarande konjugat. För att beräkna en komplex rot måste dess verkliga del definieras, eftersom den imaginära delen, mindre än noll, nås från dess modul och dess verkliga del.

Vi vet att ett tal "a" till exempel är roten till ett polynomialt P (x) om P (a) = 0 . För det återstående teoremet, om "a" är roten till polynomet P (x), kommer det att säga att P (x) är delbart med x - a, eftersom resten av delningen av P (x) med x är noll. I allmänhet kallas dessa värden x1, x2, x3, etc.

Denna sats används för att verifiera vilka av värdena som ger noll vila. Ruffinis metod används också för att hitta rötter till ett polynom och fortsätter därmed att faktorisera att binomialerna i formen (x - a) är «a» ett heltal.

Exempel och övningar

Algebraiska uttryck

I detta avsnitt kommer, förutom att lägga till övningar i alla matematiska operationer som nämns under hela inlägget, att särskilt nämnas om exempel på multiplikation av ett monomium antingen med en oberoende term (monomialprodukt) eller av en annan monomial.

I det första fallet, i elementär algebra, sägs det att värdet på den oberoende termen måste multipliceras med den monomiska koefficienten, på detta sätt är det möjligt att erhålla en produkt, som tillskrivs det bokstavliga monomialet integrerat. Exempel: 3. 4xy2 = 12xy2

När den monomiska multiplikationen sker av en annan monomial (monomial produkt) är det möjligt att båda termerna involverade i multiplikationen identifieras som monomialer. I det specifika fallet, som tidigare angivits i de teoretiska källorna, måste tecknen multipliceras, plus värdet på koefficienterna som har en plats i termerna. Den erhållna produkten måste registreras som ett resultat, och därefter tilldelas de sidor som observeras i multiplikationsvillkoren och lägg sedan till exponenterna för de som härrör från samma bas. Exempel: 3 × 3 4 × 2 = (3, 4) x3 + 2 = 12 × 5

När detta har förklarats fortsätter vi att visa en serie lösta övningar relaterade till algebraiska uttryck, tillägg av polynomier, subtraktion av polynomier, monomiala övningar, bland andra.

1. Övningar med algebraiska uttryck:

  • X ^ 2 - 9 / 2X + 6

    (X + 3) * (X - 3) / 2 * (X + 3)

    X - 3/2

  • X ^ 2 + 2X + 1 / X ^ 2 - 1

    (X + 1) ^ 2 / (X + 1) * (X - 1)

    X + 1 / X - 1

2. Summan av polynomier

  • 2x + 3x + 5x = (2 + 3 + 5) x = 10 x
  • P (x) = 2 × 2 + 5x-6

    Q (x) = 3 × 2-6x + 3

    P (x) + Q (x) = (2 × 2 + 5x-6) + (3 × 2-6x + 3) = (2 × 2 + 3 × 2) + (5x-6x) + (-6+ 3) = 5 × 2-x-3

3. Subtraktion av polynomier

P (x) = 2 × 2 + 5x-6

Q (x) = 3 × 2-6x + 3

P (x) -Q (x) = (2 × 2 + 5x-6) - (3 × 2-6x + 3) = (2 × 2 + 5x-6) + (-3 × 2 + 6x-3) = (2 × 2-3 × 2) + (5x + 6x) + (-6-3) = -x2 + 11x-9

4. Uppdelning av polynomier

  • 8 y / 2 y = (8/2). (Y / y) = 4
  • 15 ay / 3a = (15/3) (ay) / a = 5 och
  • 12 bxy / -2 bxy = (12 / -2) (bxy) / (bxy.) = -6
  • -6 v2.c. x / -3vc = (-6 / -3) (v2.c. x) / (v. c) = 2 v

5. av algebraiska uttryck (binomial kvadrat)

  • (x + 3) 2 = x 2 + 2 • x • 3 + 32 = x 2 + 6 x + 9
  • (2x - 3) 2 = (2x) 2 - 2 • 2x • 3 + 32 = 4 × 2 - 12 x + 9
  • 6. Vila teorem

    (x4 - 3 × 2 + 2) :( x - 3)

    R = P (3) = 34 - 3 • 32 + 2 = 81 - 27 + 2 = 56

    Vanliga frågor om algebraiska uttryck

    Vad är algebraiska uttryck?

    Det är en uppsättning bokstäver, symboler och siffror som används i matematiska operationer.

    Läs fler joner

    Vilka operationer utförs med polynomier?

    Polynom läggs till, subtraheras, multipliceras och delas. Olika tekniker kan användas.

    Läs mer

    Vad är det numeriska värdet på algebraiska uttryck?

    Det är resultatet som erhållits efter att värdena har ersatts med variablerna i uttrycket för att slutföra operationerna.

    Läs mer

    Hur löses kvadratet i en binomial?

    Det är lika med kvadratet för den första termen och lägger till den dubbla produkten av den första med den andra, plus den andra fyrkanten. (a + b) 2 = a2 + 2 · a · b + b2

    Läs mer

    Hur identifierar man en monomial och ett polynom?

    I monomialet finns det bara en variabel, istället har polynomema mellan två och fler variabler.

    Läs mer

    Rekommenderas

    Apollinarianism
    2020
    Prótesis
    2020
    kvicksilver
    2020